Question

数学归纳法证明ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3

Answer 1

这题是2007的高考题（山东还是广东的忘了，应该是山东的），题目在题干中已给出一个函数：f(x)=x^2+aln(1+x)，取不妨取a=-1,构造函数g(x)=x^3-x^2+ln(1+x)
则g'(x)=[x^3+(x-1)^2]/(1+x)，当x>0时g'(x)>0恒成立，于是g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以必有g(x)>g(0)=0
而1/n ∈（0，1],所以令x=1/n上式也成立，所以就有1/n^3-1/n^2+ln(1+1/n)>0
上式化简即得ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3

Answer 2

对数式的分母是什么？

追问

(1/n +1),不是1/(n+1)

追答

等下

貌似是导数证明的题目，你改的要求吧？

追问

是的，

追答

设f(x)=ln(x+1)-x²+x³
f'(x)=1/(x+1)-2x+3x²
=[3x³+(x-1)²]/(x+1)>0
所以f(x)单调递增
令x=1/n，则有f(1/n)>f(0)=0

即ln(1/n+1)>1/n²-1/n³