Question

求解一道 微分算子特征值 的题

不需要求解，只需要思路
这个微分方程好像也不太好解...
有传送门也可以
在线等，合理立马采纳+分

Answer 1

Answer 2

先问一下那个 \delta (x) 是什么，是一个关于x的比较任意的函数么？

追问

dirac delta function d(x):
d(x) = +inf , when x =0
= 0, when x !=0

追答

第一问我有一点想法，但是比较乱，缺一个合适的级数。总之先说一下，说不定我差的东西正好你比较熟悉。

现在假如有个解y，它在-pi和pi都是0，那么考虑所有光滑函数f，要求它满足f(-pi)=f(pi)=0（见下文分部积分的边界项要求），f定义在[-pi,pi]上。以f为测试函数(test function)。原来的方程是，y''+\lambda y = -a \delta (x) y，两边乘以f(x)，从-pi到pi积分，就得到

\int _{-\pi} ^{\pi} (y''+\lambda y) f(x) dx = -a y(0) f(0).

右边那项是有 Dirac \delta 函数的性质（其实是定义）看出来的。

剩下的写不下，写了7条放到评论里，请按时间顺序，从后面的页面开始看。