Question

如图,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,交BC于点D,EF⊥AD,交AD于点G,交AB于点E,交AC于点F,

EF的延长线与BC的延长线相交于点M.求证：∠M＝½﹙∠ACB－∠B﹚

Answer 1

证明:因为 AD平分角BAC,
所以 角BAD=角BAC/2,
因为 EF垂直于AD,
所以 角NGD=90度,
所以 角M=90度--角ADM,
因为 角ADM=角BAD+角B
=角BAC/2+角B
所以 角M=90度--(角BAC/2+角B),
因为 角BAC=180度--角B--角ACB,
所以 角M=90度--[(180度--角B--角ACB)/2+角B]
=90度--(90度--角B--角ACB/2+角B)
=1/2(角ACB--角B).

Answer 2

∵EF⊥AD
即∠AGE=∠AGF=90°
AD平方∠BAC即∠EAG=∠FAG
AG=AG
∴△AGE≌△AGF(ASA)
∴∠EAG=∠FAG=1/2∠BAC
∴∠AEG=90°-∠EAG
=90°-1/2∠BAC
=90°-1/2(180°-∠ACB-∠B)
=1/2∠ACB+1/2∠B
∵∠AEG=∠B+∠M (∠AEG是△BEM的外角）
∴∠M=∠AEG-∠B
=1/2∠ACB+1/2∠B-∠B
=1/2(∠ACB-∠B)

Answer 3

∠BEM=90°+1/2∠BAC=90°+1/2(180°-∠B-∠BCA)=180°-1/2(∠B+∠BCA)
∠M=180°-∠B-∠BEM=180°-∠B-180°+1/2(∠B+∠BCA)=1/2(∠BCA-∠B)