Question

设X概率密度 f(x)=(θ+1)x^θ,0<x<1时;f(x)=0,其他。 其中θ>-1是未知参数,X1，X2...Xn是容量为n的样本

求θ的矩估计和极大似然估计量。（求解答过程和答案）

Answer 1

矩估计：先求X的期望，是θ的函数，再反解θ即可。

极大似然估计：对概率密度取对数，再关于θ求导即可。

x1 x2……xn的联合密度是

L(θ)=f(x1)f(x2)……f(xn)=θ^n*(x1x2……xn)^(θ-1)

L'(θ)=nθ^(n-1)(x1x2……xn)^(θ-1)+θ^n*(x1x2……xn)^(θ-1)*ln(x1x2……xn)=0

则θ=-n/ln(x1x2……xn)

含义

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

Answer 2

矩估计：
E(x)

=∫_(0,1) x * (θ+1)x^θ dx
=∫_(0,1) (θ+1)x^(θ+1) dx
=(θ+1)/(θ+2)*x^(θ+2) |_(0,1)
=(θ+1)/(θ+2)
令E(x)=(Σxi)/n
则θ=1/(1-(Σxi)/n) - 2

极大似然估计：
ln p(x1, x2, ..., xn) = ln f(x1) + ln f(x2)... + ln f(xn)
=n ln(θ+1) + θ Σln(xi)
对θ求导，令导数等于0得
n/(θ+1) + Σln(xi) = 0
θ = -n/Σln(xi) - 1