Question

如何用单调有界数列收敛定理证明柯西收敛定理？

百度文库里找到了，可是我觉得其中的推理好像有问题，有没有高人，求教

Answer 1

证明：
只要证明两个定理是等价的即可。
必要性，用那个文档中的方法就行。

下面看充分性。

1、首先证明Cauchy列有界
取e=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有c

|a(n)-a(N)|<e=1
由此得：
|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|
(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).
令：
M=Max{|a(1)|,|a(2)|,……,|a(N)|,|a(N)|+1}
这样就证明了，对于任何n都有a(n)<=M。
所以Cauchy列有界。

2、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）
因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的e>0，都存在N,使得m、n>N时有
|a(m)-a(n)|<e/2
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得
|aj(k)-A|<e/2
因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<e/2+e/2=e
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛

追问

我问的是用单调有界数列收敛定理证明，不是用Bozlano-Weierstrass定理（话说取这么长的名字干毛啊，叫聚点定理不就得了）

追答

这个是我从别处复制过来的。这个聚点定理我也没学过。
那就直接用那个文档上的必要性证明，那个证明哪里不妥么？？

证明
若an单调有界，那么必有极限。
设liman=a
所以对于任意ε>0，必然存在N(ε)，使得当m，n>N(ε)时，满足
|am-a|0，必然存在N(ε)，使得当m，n>N(ε)时，满足
|am-an|=|(am-a)-(an-a)|<=|am-a|+|an-a|<=ε/2+ε/2=ε
所以an是柯西数列。

这样对不对啊

追问

那你就讲解一下那个证明嘛，真的看不懂啊

Answer 2

单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。
如果Xn∈R并且d(Xn,Xn+1)≤d(Xn-1,Xn)/2。
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立。
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立。
证明举例：
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |x珐长粹短诔的达痊惮花n-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立。