一道三角函数题目 第12题

韩增民松
2014-06-21 · TA获得超过2.3万个赞
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已知⊿ABC,内角A,B,C对边分别为a,b,c,满足in2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+1/2,面积满足1<=S<=2,则下列不等式成立的是( )
A.bc(b+c)>8 B.ac(a+b)>16√2 C,6<=abc<=12 D.12<=abc<=24
解析:∵⊿ABC,内角A,B,C对边分别为a,b,c,满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+1/2,
∴sin2A+sin2B=-sin2C+1/2==>sin2A+sin2B+sin2C=1/2,
∴2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)=1/2,
2sinA(cos(B-C)-cos(B+C))=1/2,
4sinAsinBsinC=1/2==>sinAsinBsinC=1/8.
设外接圆的半径为R,
由正弦定理可得:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
由S=1/2absinC,及正弦定理得sinAsinBsinC=S/2R^2=1/8,
即R^2=4S,
∵面积S满足1≤S≤2,
∴4≤R^2≤8==>2<=R<=2√2,
sinAsinBsinC=abc/(8R^3)=1/8==>abc=R^3
∴8<=abc<=16√2,显然选项C,D错误;
A.bc(b+c)>abc>=8正确,
B.bc(b+c)>abc,又∵bc(b+c)≤16√2.∴ac(a+b)不一定正确,
∴选择:A
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