Question

高等数学，解一阶线性微分方程

求解微分此方程：，简单整理成
这个形式，但是书上例题的标准形式都是dy/dx啊...dx/dy这种形式在运算时和标准形式相比有什么区别呢？帮我解一下这个方程好不好~~~ 一步一步来，不要直接代通解公式，尤其是常数变易法求详细一点写...谢谢~

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Answer 1

线性方程的标准形式里面的x,y只是自变量与因变量的符号而已，可任意更换。
先求解齐次方程dx/dy+x/(ylny)=0，分离变量，dx/x=-dy/(ylny)，两边积分，lnx=-ln(lny)+lnC，所以x=C/lny。
设非齐次线性方程的解是x=C(y)/lny，代入(C'(y)*lny-C(y)/y)/(lny)^2+C(y)/(y(lny)^2)=1/y，所以C'(y)=lny/y，所以C(y)=∫lny/ydy=1/2*(lny)^2+C。
所以非齐次线性方程的通解是x=(1/2*(lny)^2+C)/lny=1/2*lny+C/lny。