Question

将函数e^(1/1-z)展开为z的幂级数，和在0<|z-1|<∞内展开为洛朗级数，为何结果不同

前者为何不能直接适用于e^z=∑z^n/n!这种形式

Answer 1

把y=e^x展成幂级数，由e^x的幂级数的一致收敛性，只需代x=-1/(z-1)即可。

一般的，要把一个函数展成洛朗级数，是在其解析区域展成洛朗级数， 比如把1/（1-z）在0点展成洛朗级数，由于z=1是奇点，那么就要把平面进行分割，在｜z｜＜1内，1/（1-z）= Σ z^n 。 

在｜z｜＞1内，有1/｜z｜＜1，那么1/（1-z）=1-1/[1-(1/z)]1- Σ（1/ z）^n ， 那如果是在其奇点处展开那么洛朗级数就为-1/（z-1），无论在那个区域内展开，都要保证期级数是收敛的，从而可得到洛朗展式。

扩展资料：

洛朗级数的收敛域：Z变换的存在充分必要条件是：级数绝对可和。使级数绝对可和的成立的所有Z值称为Z变换域的收敛域。由Z变换的表达式及其对应的收敛域才能确定原始的离散序列。

特点：

1、收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞。

2、在收敛域内没有极点，X(Z)在收敛域内每一点上都是解析函数。

性质：Z变换有线性性、序列移位、时域卷积、频移、频域微分等性质。这些性质对于解决实际问题非常有用。其性质均可由正反Z变换的定义式直接推导得到。