Question

(1)如图，在正方形ABCD中，M是边BC（不含端点B.C）上任意一点，

P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点(1)如图，在正方形ABCD中，M是边BC（不含端点B.C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点。若∠AMN=90°，求证：AM=MN 2）如图（2）若将（1）中的正方形ABCD改为正三角形ABC，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否成立？请说明理由

Answer 1

1、∵ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=90°
∵CN平分∠DCP，那么∠PCN=45°
在AB上截取BH=BM则∠BHM=∠BMH=45°
∠AHM=∠MCN=180°-45°=135°
∴AB-BH=BC-BM即AH=MC
因为∠AMN=90°=∠ABM
∴∠NMC=∠MAH(同为∠AMB的余角)
△AHM≅△MCN
∴AM=MN
2、延长NC，截取CE=CM，连接ME
∵△ABC是正三角形
∴∠ACB=60°，那么∠ACP=120°
∴∠ECM=60°
延长NC，截取CE=CM，连接ME
∴△CME是正三角形
∴∠CME=60°
∠E=∠ACM=60°即∠NEM=∠ACM=60°
CM=ME
∴∠AMN=∠CME=60°
∴∠AMN+∠CMN=∠CME+∠CMN
即∠AMC=∠NME
∴△AMC≌△NME(ASA)
∴AM=MN