Question

已知向量组α，β，γ线性无关，而向量组α，β，γ，η线性有关，试证明：（1）向量η一定可由

已知向量组α，β，γ线性无关，而向量组α，β，γ，η线性有关，试证明：（1）向量η一定可由向量组α，β，γ线性表示：（2）表示法是唯一的。

Answer 1

就用 a、b、c、d 表示那几个向量吧，这样输入省事，希望你能看懂。
（1）因为 a、b、c、d 线性相关，因此存在不全为 0 的实数 k1、k2、k3、k4 使
k1*a+k2*b+k3*c+k4*d=0 ，
假如 k4=0 ，则 k1、k2、k3 不全为 0 ，且由上式得 k1*a+k2*b+k3*c=0 ，
这说明 a、b、c 线性相关，与已知矛盾，
所以 k4 ≠ 0 ，则可得 d=k1/k4*a+k2/k4*b+k3/k4*c ，
所以 d 可由向量组 a、b、c 线性表示。
（2）设 d=k1*a+k2*b+k3*c ，且 d=m1*a+m2*b+m3*c ，
相减得 (k1-m1)*a+(k2-m2)*b+(k3-m3)*c=0 ，
由于 a、b、c 线性无关，所以 k1-m1=k2-m2=k3-m3=0 ，
所以 k1=m1，k2=m2，k3=m3 ，
即 d 用 a、b、c 线性表示方法是惟一的。