Question

一道初中物理竞赛题，请各位高手帮忙

有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度。如图10所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？【希望各位朋友能尽可能的写详细，因为这一题我确实不知从何着手，谢谢了。】

Answer 1

设铁棒长度为L
以铁棒为研究对象。
铁棒左端为支点
离支点0.25a处有竖直向下作用力G=ρga^3
离支点0.5L处有竖直向下作用力G'=0.5PL
离支点L处有竖直向上作用力F
力矩平衡
得到F=(0.25ρga^4)/L+0.25PL
当且仅当0.25ρga^4)/L=0.25PL时，F有最小值（f(x)=x+1/x,基本不等式，高中知识）
得到L=根号（ρga^4/P）
此时F最小值为0.5根号（ρga^4P）

Answer 2

这还要根据杠杆平衡来求
阻力有石头的重力和铁棒的重力
石头的重力=ρ*A立方，其力臂=A/2-A/4=A/4
设铁棒长L
铁棒的重力=L*P，其力臂=L/2
动力的力臂=L
则F*L=ρ*A立方*A/4+L*P*L/2
L方*P/2-F*L+ρ*A立方*A/4=0
此方程有解，则F方-4*P/2*ρ*A立方*A/4大于等于0
当等于0时，F有最小值=根号（P/2*ρ*A立方*A）
自己化简一下吧
有了F，就可求出L。

Answer 3

这还要根据杠杆平衡来求
阻力有石头的重力和铁棒的重力
石头的重力=ρ*A立方，其力臂=A/2-A/4=A/4
设铁棒长L
铁棒的重力=L*P，其力臂=L/2
动力的力臂=L
则F*L=ρ*A立方*A/4+L*P*L/2
L方*P/2-F*L+ρ*A立方*A/4=0
此方程有解，则F方-4*P/2*ρ*A立方*A/4大于等于0
当等于0时，F有最小值=根号（P/2*ρ*A立方*A）
自己化简一下吧
有了F，就可求出L。

她抄我的

Answer 4

题中隐含着两个杠杆。
F要克服两个力，以铁棒接触地面的点为支点的杠杆上大理石的重力，以及全部的铁棒的重力。其中大理石重力作用点为0.25a处；铁棒的重力作用点在0.5b处
设铁棒长度为b
守恒等式： ρga^3 * 0.25a + Pb * 0.5b = F * b
移项 ： 0.25ρga^4 / b + 0.5Pb = F
这里我想不到合适的初中解法了。
用导数运算，极值的导数为零。
对b求导并使其等于0，得到 b= （0.5ρga^4/P）^0.5
继而得到， F= (0.5Pρga^4)^0.5

呵呵，没注意到有人回过了，他们的方法也是对的。
注意一下把重力加速度加进去就可以了。
祝你学习进步哈！

Answer 5

这道题应该分开来两个部分来思考：
第一部先计算立方体加到铁棒上的边有多大，但不是如zixchen 所回答“离支点0.25a处有竖直向下作用力G=ρga^3”
G=ρga^3是整个立方体的重量，而整个立方体并不是将全部重量都加在铁棒上，因为上图中立方体的左下角还受地面支撑。
那么立方体加在铁棒上的力是多大？
应该以立方体的左下角为支点，立方体的重量ρga^3 * a/2=立方体加在铁棒上的力* a
则立方体加在铁棒上的力为：ρga^3/2
设铁棒长度为L
以铁棒为研究对象。
铁棒左端为支点
离支点0.5L处有竖直向下作用力G'=0.5PL
离支点L处有竖直向上作用力F
力矩平衡
得到F*L=(0.25*a*ρga^3/2)+0.5PL*L
当且仅当0.125ρga^4/L=0.5PL时，F有最小值（f(x)=x+1/x,基本不等式，高中知识）
得到L=根号（ρga^4/4P）
此时F最小值为0.5根号（ρga^4P）

Answer 6

先把正方体作为杠杆，求出它对杠杆的压力，然后设棒长为X利用杠杆平衡列出一个关系式，次式应该是一个关于X的二元一次方程，利用配方（最好配成X减一个式子）然后就明了了