Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1/2，

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1/2，且f（1/2）=0，当x>1/2时，f（x）>0。
（1）求f（1）
（2）判断函数f（x）的增减性，并证明你的结论。

Answer 1

f（1/2）=0

f（1）=f（1/2+1/2）=f（1/2）+f（1/2）+1/2=0+0+12=1/2

f（1）=1/2
2)函数f（x）在x>1/2上有,x2>x1,则x2-x1>0,f（x2-x1）>0。

f（x1）-f（x2)=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-f（x2-x1)-f（x1）-1/2
=-f（x2-x1)-1/2 <0
因,f（x2-x1）>0。-f（x2-x1)-1/2 <0
即f（x1）<f（x2) 又x2>x1
f（x）在(1/2,+无穷)上是增函数