Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由
我看网上给的第二问答案都是用A3=λ+1,A2=λ-1,之后假设An为等差所以2A2=a1+a3，求λ，再证A2n为等差，最后证An为等差可得λ
那么既然有A3=λ+1,A2=λ-1，假设An为等差，就用A3-A2不就是An的公差么？之后就可得出An是等差数列时的式子，再带入任意一个式子求λ不是更简单？

Answer 1

(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，
由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
这样可以么？

追问

能不能看好我的问题，别直接粘贴过来？

Answer 2

(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，
由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列

追问

能不能看好我的问题，别直接粘贴过来？

Answer 3

由此可得{a2n－1}是首项为1.
(2)由题设，a1＝1.
因此存在λ＝4，a1a2＝λs1－1：由题设，
由(1)知；
{a2n}是首项为3，
a2n－1＝4n－3，则2a2＝a1＋a3，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，anan＋1＝λsn－1，所以an＋2－an＝λ，公差为4的等差数列，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1，可得
a2＝λ－1，an＋1－an＝2，an＋1an＋2＝λsn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，解得λ＝4.
所以an＝2n－1.
因为an＋1≠0，故an＋2－an＝4(1)证明

Answer 4

你好像傻 你怎么能假设呢 公差得用定义来证明 不能直接设条件