Question

初中几何极值问题

设P是任意△ABC平面上一动点, P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF. 问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2的值为最小.

Answer 1

设P是任意△ABC平面上一动点, P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF. 问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2的值为最小. 答当P为三角形ABC的类似重时最小. ∵BC*PD+CA*PE+AB*PF=2S [表示三角形ABC的面积] 由柯西不等式.得 (BC^2+CA^2+AB^2)*(PD^2+PE^2+PF^2)≥(BC*PD+CA*PE+AB*PF) ∴PD^2+PE^2+PF^2≥(4S^2)/(BC^2+CA^2+AB^2) 当PD=2BC*S/(BC^2+CA^2+AB^2);PE=2CA*S/(BC^2+CA^2+AB^2); PF=2AB*S/(BC^2+CA^2+AB^2).即P是三角形ABC的类似重心时. PD^2+PE^2+PF^2=(4S^2)/(BC^2+CA^2+AB^2).