Question

在三角形ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c已知cosA-2cosC/cosB=2c

在三角形ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b 1.求sinC/sinA的值 2.若cosB=1/4，b=2，求三角形ABC的面积

Answer 1

1
（cosA-2cosC）/cosB=（2c-a）/b
根据正弦定理
（cosA-2cosC）/cosB=（2sinC-sinA)/sinB
∴sinBcosA-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB
∴sinBcosA+cosBsinA=2(sinBcosC+cosBsinC)
∴sin(B+A)=2sin(B+C)
∴sinC=2sinA
∴sinC/sinA=2
2
∵sinC/sinA=2∴c/a=2.c=2a
∵cosB=1/4，b=2，根据余弦定理
b=a+c-2accosB
∴4=a+4a-a ==>a=1,c=2
又sinB=√(1-cosB)=√15/4
∴三角形ABC的面积
S=1/2acsinB=1/2*2*√15/4=√15/4

Answer 2

解：（1）由正弦定理可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC
那么：(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b可化为：
(cosA-2cosC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinB
即sinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-sinAcosB
sinBcosA+sinAcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)
所以由两角和的正弦公式可得：
sin(A+B)=2sin(B+C)
即sinC=2sinA
所以：sinC/sinA=2
因为sinC/sinA=2
所以c/a=2 又因为cosB=1/4,b=2
所以1/4=（a2+c2-b2）/2ac
1/4=（a2+4a2-4）/4a2
化简得a2=1
a=1 所以c=2
由cosB=1/4可知sinB=根号15/4
Sabc=1/2acsinB=1/2*1*2*根号15/4=根号15/4

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