Question

f(f(x))=x²+x

求f(x)=?

Answer 1

这个题可能是一个错题，

（如果你不这么认为，可以直接无视我下面的解答）

去年我曾经回答过这个题：

f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,设有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式

应该是别人抄错题目了!

【答案】

f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x

∵   有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0

∴   f(x)-x^2+x=x0恒成立

即 f(x)=x^2-x+x0

又∵   有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0

∴  方程f(x)-x=0有唯一实根

即：x^2-2x+x0=0 有唯一实根。

△=4-4x0=0

所以x0=1

从而，f(x)=x^2-x+1

Answer 2

第一题要分类讨论：
当m＝0时，f(x)=x²+|x|为偶函数,
当m≠0时f(-x)=x²+|m+x|≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，所以 f(x) 为非奇非偶函数；
第二题
若 x≤m，则 f(x)=x²-x+m=[x-(1/2)]²+m-(1/4)；
当 m≥1/2，则函数f(x)最小在对称轴即x=1/2，所以最小 f(x)=f(1/2)=m-(1/4)；
当 m<1/2 ，则函数f(x)在(负无穷，m]上单调递减，所以最小 f(x)=f(m)=m²；

若 x≥m，则 f(x)=x²+x-m=[x+(1/2)]²-m-(1/4)；
当 m≤-1/2，则函数f(x)最小在对称轴，即x=1/2,所以最小 f(x)=f(-1/2)=-m-(1/4)；
当 m>-1/2，则函数f(x)在[m,正无穷)上单调递增，所以最小 f(x)=f(m)=m²；

综上，当 m≤-1/2，最小 f(x)=-m-(1/4)；
当 -1/2<m<1/2，最小 f(x)=m²；
当 m≥1/2，最小 f(x)=m-(1/4)；

追问

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