高数 级数 这个级数的收敛域怎么求 70

christcha
2014-09-17 · TA获得超过3974个赞
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作变换t=1/x,则原积分变为 ∫[0->﹢∞](sint)t^(p-2)dt
首先p-2≥0时,该积分是发散的,否则若是收敛的
则当A,B充分大时必有|∫[A->B](sint)t^(p-2)dt|≤1
取A=2kπ,B=(2k+1)π,则当k->+∞时,有
|∫[2kπ->(2k+1)π](sint)t^(p-2)dt|≥∫[2kπ->(2k+1)π](sint)(2kπ)^(p-2)dt
=(2kπ)^(p-2)∫[2kπ->(2k+1)π]sintdt=(2kπ)^(p-2)∫[0->π]sintdt
=2(2kπ)^(p-2)≥2,矛盾。∴p≥2,积分是发散的
而当p<2时,此时t=0也是个瑕点,
∴考虑∫[0->﹢∞](sint)t^(p-2)dt=∫[0->1](sint)t^(p-2)dt+∫[1->﹢∞](sint)t^(p-2)dt
∵∫[1->A]sintdt在A∈(1,+∞)上有界,而p-2<0时,t^(p-2)在[1,+∞)上单调递减->0
∴由Dirichlet判别法可知,p-2<0时,∫[1->﹢∞](sint)t^(p-2)dt是收敛的
∴原积分的收敛性取决于积分∫[0->1](sint)t^(p-2)dt
∵t->0时,sint~t,∴(sint)t^(p-2)~t^(p-1)
即∫[0->1](sint)t^(p-2)dt的收敛性等价于∫[0->1]t^(p-1)dt的收敛性
而后者的收敛域为p>0,∴前者的收敛域也是p>0
综上可知,原积分的收敛域为0<p<2
追问
太强了 就是好复杂 看不太懂。。
wangling_1003
2014-09-17 · TA获得超过543个赞
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忘记了,好久没看到高数题了
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