Question

一人一次取完的火柴有哪些数字？

Answer 1

取火柴堆问题的终极解法：
取火柴游戏，无论是3、5、7，还是3、4、5，甚至是4堆5、6、7、8都可以用如下方法解决。
取火柴问题取胜的关键是判断火柴数量是否处于稳定态，谁能通过取火柴获得稳定态谁胜，谁取火柴破坏稳定状态谁输。

判断稳定状态需要用到数字的二进制表示法，记住常用十进制数字的二级制表示：
1=0001
2=0010
3=0011
4=0100
5=0101
6=0110
7=0111
8=1000
9=1001
以上二级制表示的个位上的1代表1，十位上的1代表2，百位上的1代表4，千位上的1代表8。如1001千位上的1代表8，个位上的1代表1，因此1001=8+1=9；同理，0111=4+2+1=7

稳定态的判断：将几堆火柴数量的二进制表示按个位依次对齐，如果个、十、百、千等各数位上1的数量均为偶数（0、2、4、...），则该组火柴数量构成稳定态。只要有任意数位上1的数量不是偶数，则该组火柴数量为非稳定态。

问题1、假设有3堆火柴，每堆分别有3、5、7根，两人每次可从任一堆火柴中取1跟或全部取完，最后一次取到火柴者为胜。
状态3、5、7的三个数字的二进制表示如下：
3=0011
5=0101
7=0111
该组数字个位上有3个1，十位有2个1，百位有2个1，因此该组数字为非稳定态。在非稳定态下，先取火柴者只要通过取火柴把非稳定态转化为稳定态，就能取胜。
在3、5、7非稳定态下，先取火柴者有三种办法可以将火柴数量转化为稳定态，即：从第一堆取1根变为2、5、7，或者从第二堆取1根变为3、4、7，或者从第三堆取1根变为3、5、6。这三种状态都是稳定态，如：
2=0010
5=0101
7=0111
个十百位上1的数量均为偶数2，为稳定态。
3=0011
4=0100
7=0111
个十百位上1的数量均为偶数2，为稳定态。
3=0011
5=0101
6=0110
个十百位上1的数量均为偶数2，为稳定态。
面临以上稳定状态，后取火柴者无论怎样取火柴都会破坏稳定态，转为非稳定态，必然会输。
假设后取者从第三堆上取走2根，火柴堆数量变为2、5、5，转为非稳定态。
2=0010
5=0101
5=0101
十位只有1个1，为非稳定态
此时，先取者的唯一正确取法是取光第一堆，火柴数量变为：0、5、5，转为稳定态
0=0000
5=0101
5=0101
个位有2个1，十位有0个1，百位有2个1，为稳定态
总之，先取者只要将后续遇到的非稳定态都转化为稳定态，就必然能取胜。

问题2：假设有3堆火柴，每堆分别有3、4、5根，两人每次可从任一堆火柴中取1跟或全部取完，最后一次取到火柴者为胜。
状态3、4、5的三个数字的二进制表示如下：
3=0011
4=0100
5=0101
该组数字个位上有2个1，十位只有1个1，百位有2个1，该组数字为非稳定态。先取者只有一种办法：即从第一堆上取走2根火柴，将该组数字转化为稳定态1、4、5，就能取胜。
1=0001
4=0100
5=0101
个位有2个1、十位有0个1，百位有2个1，所以是稳定态。

问题3：假设有4堆火柴，每堆分别有3、4、5、6根，两人每次可从任一堆火柴中取1跟或全部取完，最后一次取到火柴者为胜。
状态3、4、5、6四个数字的二进制表示如下：
3=0011
4=0100
5=0101
6=0110
该组数字个位上有2个1，十位有2个1，百位有3个1，该组数字为非稳定态。先取者，只要想办法减少百位上1的个数就能将该组数字转化为稳定态，有三种取法，即将四堆火柴数量转化为：3、0、5、6，或3、4、1、6或3、4、5、2。

问题4：假设有4堆火柴，每堆分别有6、7、8、9根，两人每次可从任一堆火柴中取1跟或全部取完，最后一次取到火柴者为胜。
状态6、7、8、9四个数字的二进制表示如下：
6=0110
7=0111
8=1000
9=1001
该组数字个位上有2个1，十位有2个1，百位有2个1，千位有2个1，该组数字为稳定态。
先取火柴者无论怎样取都会破坏稳定态，先取者必输。后取者只要将先取者破坏的非稳定态转为稳定态，就必然能取胜。