Question

已知函数 f(x)= x+1 2-x ，x∈[3，5] ，（1）判断函数的单调性，并用定义证明；　　　（2）求函

已知函数 f(x)= x+1 2-x ，x∈[3，5] ，（1）判断函数的单调性，并用定义证明；　　　（2）求函数的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f（x）在[3，5]上为增函数．证明如下：…（2分） 设x 1 ，x 2 是区间[3，5]上的任意两个实数且x 1 ＜x 2 ， 则 f( x 1 )-f( x 2 )= x 1 +1 2- x 1 - x 2 +1 2- x 2 = 3( x 1 - x 2 ) (2- x 1 )(2- x 2 ) …（4分） ∵3≤x 1 ＜x 2 ≤5∴2-x 1 ＜0，2-x 2 ＜0　x 1 -x 2 ＜0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0　　即f（x 1 ）＜f（x 2 ） ∴f（x）在[3，5]上为增函数…（8分） （2）由（1）f（x）在[3，5]上为增函数， 所以f（x）在[3，5]上有最大值f（5）=-2，有最小值f（3）=-4…（12分）