Question

如图，半径为 2 5 的⊙O内有互相垂直的两条弦AB，CD相交于P点，（1）设BC的中点为F，连接FP

如图，半径为 2 5 的⊙O内有互相垂直的两条弦AB，CD相交于P点，（1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB⊥CD， ∴∠CPB=90°，即△PBC为直角三角形， ∴∠C+∠B=90°， ∵F为BC的中点， ∴PF=CF=BF， ∴∠C=∠CPF， 又∵∠CPF=∠DPE， ∴∠C=∠DPE， ∴∠DPE+∠B=90°， 又∵∠B=∠D， ∴∠DPE+∠D=90°， ∴∠PED=90°，即EF⊥AD； （2）连接OB，OD，OP，过O作OH⊥CD，OQ⊥AB， ∵AB⊥CD， ∴四边形PHOG为矩形， ∴H、Q分别为CD、AB的中点， ∴QB=4，HD=3， 在Rt△OHD中，HD=3，OD=2 5 ， 根据勾股定理得：OH=PQ= O D 2 -H D 2 = 11 ， 在Rt△OBQ中，OB=2 5 ，QB=4， 根据勾股定理得：OQ=PH= O B 2 -Q B 2 =2， 在Rt△OPH中，PH=2，OH= 11 ， 根据勾股定理得：OP= P H 2 +O H 2 = 15 ．