Question

已知函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．

已知函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]?D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x ， ∴f′（x）=[ax 2 +（2a+b）x+（b+c）]e x ， 由 f(0)=1 f ′ (0)=-1 f ′ (0)=0 ， 即 c=1 b+c=-1 3a+2b+c=0 ， 解得 a=1 b=-2 c=1 ． 经检验，f（x）=（x 2 -2x+1）e x 满足题意． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=（x 2 -1）e x ． （i）假设x＞1时，f′（x）存在“保值区间[m，n]”，（n＞m＞1）． ∵x＞1时，f′（x）=（x 2 -1）e x ＞0， ∴f（x）在区间（1，+∞）是增函数， 依题意， f(m)=m f(n)=n ， 即 (m-1 ) 2 e m ＞m (n-1 ) 2 e n =n ， 于是问题转化为（x-1） 2 e x -x=0有两个大于1的不等实根， 现在考察函数h（x）=（x-1） 2 e x -x（x≥1）， h′（x）=（x 2 -1）e x -1． 令?（x）=（x 2 -1）e x -1， 则?′（x）=（x 2 +2x-1）e x ， ∴当x＞1时，?′（x）＞0， ∴?（x）在（1，+∞）是增函数， 即h′（x）在（1，+∞）是增函数． ∵h′（1）=-1＜0，h′（2）=3e 2 -1＞0． ∴存在唯一x 0 ∈（1，2），使得h′（x 0 ）=0， 当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：  x  （1，x 0 ）  x 0  （x 0 ，+∞）  h′（x） -  0 +  h（x） ↓  极小值 ↑ ∴h（x）在（1，x 0 ）上单调递减，在（x 0 ，+∞）上单调递增． 于是，h（x 0 ）＜h（1）=-1＜0， ∵h（2）=e 2 -2＞0， ∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴只有一个交点， 即方程（x-1） 2 e 2 -x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾． 故当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”． （ii）f（x）存在“保值区间”，[0，1]是它的一个“保值区间”．