Question

若函数 存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

若函数 存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

Answer 1

a 的取值范围为（－1，+∞）    

由于 

因为函数 f ( x )存在单调递减区间，所以f'(x) <0有解.又因为函数的定义域为（0，+∞） ，则 ax 2 +2 x －1>0应有 x >0的解.①当 a >0时，y= ax 2 +2 x －1为开口向上的抛物线， ax 2 +2 x －1>0总有 x >0的解；②当 a <0时，y= ax 2 +2 x －1为开口向下的抛物线，而 ax 2 +2 x －1>0总有 x >0的解，则△=4+4 a >0,且方程 ax 2 +2 x －1=0至少有一正根.此时，－1< a <0.

当a=0时； （0，1/2)递减，（1/2,+∞)递增。

综上所述， a 的取值范围为（－1，+∞）.

方法 ：f ( x )存在单调递减区间，所以只要f'(x) <0有解即可.在进行分类讨论，细心做好每一步。

Answer 2

a 的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）

由于 因为函数 f ( x )存在单调递减区间，所以 <0有解.又因为函数的定义域为 ，则 ax 2 +2 x －1>0应有 x >0的解.①当 a >0时，y= ax 2 +2 x －1为开口向上的抛物线， ax 2 +2 x －1>0总有 x >0的解；②当 a <0时，y= ax 2 +2 x －1为开口向下的抛物线，而 ax 2 +2 x －1>0总有 x >0的解，则△=4+4 a >0,且方程 ax 2 +2 x －1=0至少有一正根.此时，－1< a <0.综上所述， a 的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.

Answer 3

函数f(x)定义域（0，+∞），存在单调递减区间→f`(x)=1/x-ax-2<0在（0，+∞）有解→

①当a≥0时，显然，f`(x)=1/x-ax-2<0在（0，+∞）有解

②当a<0时，要使f`(x)=1/x-ax-2<0在（0，+∞）有解，则a必>-1

所以a的取值范围为（-1，+∞）