Question

（2014?黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，sinB=45，D为边AC中点，P为边AB上一点（点P不与

（2014?黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，sinB=45，D为边AC中点，P为边AB上一点（点P不与点A、B重合），直线PD交BC延长线与E，设线段BP长为x，线段CE长为y．（1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；（2）过点D作BC平行线交AB与点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF=DF，联结PQ、QE、QE交边AC于G点①当△EDQ与△EGD相似时，求x的值；②求证：PDPQ＝DEQE．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ACB中，AC=8，sinB=

AC

AB

=

4

5

，
∴AB=10，BC=6，
过点P作PH⊥BE，垂直为H，
在Rt△PHB中，PH=

4

5

x，BH=

3

5

x，
∵CD∥HP，
∴

CE

EH

=

CD

PH

，即

y

y+6? 3 5 x

=

4

4 5 x

，
解得：y=

30?3x

x?5

（5＜x＜10）；
（2）①连接QB，
∵DQ=BC=6，DQ∥BC，
∴四边形QBCD是平行四边形，
∴BQ=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBQ=90°，
当△EDQ与△EGD相似时，
∵∠EDG＜∠EDQ，
∴∠EDC=∠DQE，
∵DQ∥CE，
∴∠DQE=∠QEB，
∴∠EDC=∠QEB，
∵∠EBQ=∠DCE=90°，
∴△EBQ∽△DCE，
∴

CE

BQ

=

CD

BE

，即

y

4

=

4

6+y

，
解得：y₁=-8（舍去），y₂=2，
代入y=

30?3x

x?5

得：x=8；
②延长PQ，交EB延长线于M，
∵DQ∥ME，
∴

QF

MB

=

PF

PB

=

FD

BE

，
∵QF=FD，
∴MB=BE，
由①得QB⊥ME，
∴QE=QM，
∵DQ∥ME，
∴

PD

DE

=

PQ

QM

=

PQ

QE

，
则

PD

PQ

=

DE

QE

．