Question

如图，在直角坐标系xOy中，直线L：y=-x-1，双曲线y=1x．在L上取点A，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，

如图，在直角坐标系xOy中，直线L：y=-x-1，双曲线y=1x．在L上取点A，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交L于点A2，再过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交L于点A3，…，这样依次得到L上的点A1，A2，A3，…，An，…．记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2014=______．

Answer 1

∵a₁=2，
∴点A₁的纵坐标为-2-1=-3，
点A₁（2，-3），
∵A₁B₁⊥x轴，点B₁在双曲线y=

1

x

，
∴点B₁（2，

1

2

），
∵A₂B₁⊥y轴，
∴点A₂的纵坐标为

1

2

，
-x-1=

1

2

，
解得x=-

3

2

，
∴点A₂（-

3

2

，

1

2

），
同理可求B₂（-

3

2

，-

2

3

），
A₃（-

1

3

，-

2

3

），B₃（-

1

3

，-3），
A₄（2，-3），B₄（2，

1

2

），
…，
依此类推，每3次变化为一个循环组依次循环，
∵2014÷3=671余1，
∴A₂₀₁₄为第672循环组的第一个点，与点A₁重合，
∴a₂₀₁₄=a₁=2．
故答案为：2．