Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠BAE=30°，BE=2，CF=1．（1）求△ECD的面积；（2）

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠BAE=30°，BE=2，CF=1．（1）求△ECD的面积；（2）若ED与AF交于G，求EG的长度．

Answer 1

解答：（1）解：∵∠BAE=30°，AE⊥BC，
∴AB=2BE=2×2=4，∠B=90°-30°=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∵CF=1，四边形ABCD是平行四边形，
∴DF=CD-CF=AB-CF=4-1=3，
∵AF⊥DC，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
又∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴

AD

AB

=

DF

BE

，
即

AD

4

=

3

2

，
解得AD=6，
∴BC=AD=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
又∵AE=

AB2?BE2

=

42?22

=2

3

，
∴△ECD的面积=

1

2

×4×2

3

=4

3

；

（2）∵∠B=60°，
∴∠C=180°-60°=120°，
∵CE=CD=4，
∴∠CDE=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠ADG=∠ADC-∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠AGE=∠DAF+∠ADG=30°+30°=60°，
∵∠EAG=（180°-60°）-30°-30°=60°，
∴∠EAG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴EG=AE=2

3

．