Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π4，bsin(π4?C)?csin(π4?B)＝a．（Ⅰ）求B和C；（

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π4，bsin(π4?C)?csin(π4?B)＝a．（Ⅰ）求B和C；（Ⅱ）若a＝22，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵bsin(

π

4

?C)?csin(

π

4

?B)＝a，
∴由正弦定理，得sinBsin(

π

4

?C)?sinCsin(

π

4

?B)＝sinA．…（1分）
展开，得sinBsin(

2

2

cosC?

2

2

sinC)?sinC(

2

2

cosB?

2

2

sinB)＝

2

2

，…（2分）
化简得sinBcosC-cosBsinC=1，即sin（B-C）=1．…（3分）
∵0＜B，C＜

3

4

π，可得?

3

4

π＜B?C＜

3

4

π，…（4分）
∴B?C＝

π

2

．…（5分）
又∵A＝

π

4

，∴B+C＝

3

4

π，
解之得：B＝

5

8

π，C＝

π

8

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B＝

5

8

π，C＝

π

8

，
由正弦定理

b

sinB

＝

a

sinA

，得b＝

asinB

sinA

＝

2 2 ×sin 5 8 π

sin π 4

＝4sin

5

8

π．…（8分）
∴△ABC的面积为S＝

1

2

absinC＝

1

2

×2

2

×4sin

5

8

πsin

π

8

…（9分）
=4

2

sin

5

8

πsin

π

8

＝4

2

cos

π

8

sin

π

8

=2

2

sin

π

4

＝2．…（12分）