Question

在等边三角形ABC中，D为射线BC上一点，CE是角ACB的角平分线，角ADE=60度，EF垂直于B

在等边三角形ABC中，D为射线BC上一点，CE是角ACB的角平分线，角ADE=60度，EF垂直于BC于F。（1）如图1，若点D在线段BC上.求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由.急用第二问.

Answer 1

1、（1）

延长EC，截取CF=DC，连接DF
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACD=60°
∵CE是∠ACB外角的平分线
∴∠ACE=120°/2=60°
∴∠DCF=180°-∠ACD-∠ACE=180°-60°-60=60°
∵CF=DC
∴△CDF是等边三角形（两腰相等，顶角60°）
∴DC=DF，∠CDF=∠CFD=∠EFD=60°
∵∠ADE=∠CDF=60°
∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC
即∠ADC=∠EDF
在△ACD和△EDF中
DC=DF，∠ADC=∠EDF，∠ACD=∠EFD=60°
∴△ACD≌△EDF(ASA)
∴AD=DE
（2）

∵DF‖AC
AF＝DC
∠BFD＝∠BDF＝∠B＝60°
∠AFD＝180°－60°＝120°
∵∠ACB＝60，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠ACE＝1/2×(180°-∠ACB)=60°
∠DCE=120°
∵∠FAD=∠BFD-∠ADF=60-∠ADF
∵∠CDE=180°-∠FDB-∠ADE-∠ADF=180°-60°-60°-∠ADF=60°-∠ADF
∴∠FAD=∠CDE
∠AFD＝∠DCE
AF＝DC
△AFD≌△DCE
AD=DE

2、

做DF‖AC，交BA延长于F
AF＝DC，∠CAD＝∠ADF
∠F＝60°
∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠DCE＝∠ACE＝60°
∠F＝∠DCE
∵∠ACE＝60°，∠ADE＝60°
∴∠CAD＝∠DEC＝∠ADF
△AFD≌△DCE
AD=DE
3、

做DF‖AC，交AB延长于F
∠F＝60°
∠DBF＝∠ABC＝60°
△DBF是等边三角形，DB＝BF
AF＝AB+BF
DC＝BC+DB
∴AF＝DC
∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠DCE＝60°
∠F＝∠DCE
∵∠EDC＝∠ADE－∠ADC＝60°－∠ADC
∵∠DAF＝∠ABC－∠ADC＝60°－∠ADC
∴∠EDC＝∠DAF
△AFD≌△DCE
AD=DE

追答

上面证明了AD=DE
下面证明第二个结论

（1），证明：
①：连接AE，做EG⊥AC，交AC于G；AC，DE交于H。
1 ，证明∠ACE=∠ADE=60°
∵⊿ABC是等边三角形（已知）
∴∠ACB=60°（等边三角形的内角60度）
∴∠ACF=180°-∠ACB=120°
∵CE是∠ACF的平分线（已知）
∴∠ACE=60°
∵∠ADE=60°（已知）
∴∠ACE=∠ADE=60°
2，证明∠EAC=∠EDF
∵∠CHE=∠DGA（对顶角相等）
∴⊿CHE∽⊿DHA（AA）
∴CH/DH=EH/AH（相似三角形对应边成比例）
即：CH/EH=DH/AH
∵∠CHD=∠EHA（对顶角相等）
∴⊿CHD∽⊿EHA（两边成比例，夹角相等，两三角形相似）
∴ ∠EAC=∠EDF（相似三角形的对应角相等）
3，证明RT⊿EAG≌RT⊿EDF，AE=DE，推导出：AD=DE
∵EF⊥BC（已知），EG⊥AC（所做）
∴EG=EF（角分线上的点到角两边的距离相等）
∴RT⊿EAG≌RT⊿EDF（AAS）
∴AE=DE（全等三角形的对应边相等）
∴∠EAD=∠ADE=60°（三角形中，等边对等角）
∴∠AED=180°-2∠ADE=60°（三角形内角和等于180度）
∴AD=DE（三角形中，等角对等边）
②：
∵RT⊿EGC≌RT⊿EFC（AAS）
∴GC=CF（全等三角形的对应边相等）
∵AG=DF（全等三角形的对应边相等，见（1）证明。）
∴AC=AG+GC=DF+CF=DC+CF+CF=DC+2CF
∴BC=DC+2CF

（2），
①：同理可证：AD=DE（与（1）①的结论相同。）
其中：证明∠EAC=∠EDF的方法略有区别，说明如下：
由⊿CHA∽⊿DHE→∠CAD=∠CED
由⊿AHE∽⊿CHD→∠DAE=∠DCE
所以：∠EAC=∠CAD+∠DAE=∠CED+∠DCE=∠EDF（三角形外角定理）
②：AC=AG+GC=DF+CF=DF+CD+DF=DC+2DF
即：BC=DC+2DF（与（1）②的结论不同）

追问

第二问的辅助线怎么做

追答

按上面所说做就可以了

Answer 2

你居然跟我做的是一样的卷子