Question

阅读下列材料： 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种

阅读下列材料： 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= ． 例：求点P（1，2）到直线y= x﹣ 的距离d时，先将y= 化为5x﹣12y﹣2=0，再由上述距离公式求得d= = ． 解答下列问题： 如图2，已知直线y=﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x 2 ﹣4x+5上的一点M（3，2）． （1）求点M到直线AB的距离． （2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．





Answer 1

解：（1）将直线AB变为：4x+3y+12=0， 又M（3，2），则点M到直线AB的距离d= =6； （2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小， 设P坐标为（a，a 2 ﹣4a+5）， ∵y=3a 2 ﹣8a+27中，△=64﹣12×27=﹣260＜0， ∴y=3a 2 ﹣8a+27中函数值恒大于0， ∴点M到直线AB的距离d= = ， 又函数y=3a 2 ﹣8a+27，当a= 时，ymin= ， ∴dmin= = ，此时P坐标为（ ， ）； 又y=﹣ x﹣4，令x=0求出y=﹣4，令y=0求出x=﹣3，OA=3，OB=4， ∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB= =5， S△PAB的最小值为 ×5× = ．