Question

（2014?鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．（1）求证

（2014?鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若CDAD=34，求cos∠DAB．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵

CD

AD

=

3

4

，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴

BC

AC

=

3

4

，
∴BC=

15

4

，
由勾股定理得AB=

25

4

，
∴OC=

25

8

，
∵OC∥AD，
∴

OC

AD

=

OE

AE

，
∴

25 8

4

=

AE? 25 8

AE

，
解得AE=

100

7

，
∴cos∠DAB=

AD

AE

=

4

100 7

=

7

25

．

Answer 2

证明：（1）见下图。连结OC，得等腰三角形OAC，OC=OA（同圆半径相等），∠OCA=∠OAC=∠CAD（AC平分∠BAD），所以AD//OC（内错角相等，二直线平行）。因为AD⊥DE，所以OC⊥DC，所以CD为圆O的切线，C为切点。证毕。

（2）设AD交圆O于F，连结CF，得：∠DCF=∠CAD=∠BAD/2=a(令∠BAD=2a); 作DG⊥AC，分别交AC于P，交AE于G, 连结FO，可以看出：设四边形AGCD的面积为S，则有：S=CD*AD=6Rt△CDF的面积。

根据切割线定理：CD^2=DF*AD, 方程两边同时乘以CD^2, 则:

CD^4=(CD*DF)*(CD*AD)=(1/6)(CD*AD)^2=34^2/6,  CD^2=34/√6。

根据上式：CD^4=CD *DF*34=34^2/6, CD*DF=17/3; tana=(CD*DF)/CD^2=√6/6 

tan^2a=sin^2a/cos^a=(1-cos^2a)/cos^2a=(√6/6)^2=1/6; cos^a=6/7;

cos∠DAB=2cos^a-1=2*(6/7)-1=5/7。解毕。