Question

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元．公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

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Answer 1

（1）40元；（2） 至少应达到10.2万件，每件定价为30元．

试题分析：（1）这是函数应用题中涉及销售的问题，要清楚知道常识性的等式：销售总收入＝销售单价×销售量．提价为 元时，销售量是（ ）万件，总收入为 ，不低于原收入，得不等式 ；（2）关键是弄懂原收入与总投入之和是多少？原收入 ，总投入 ，明年的销售收入不低于原收入与总投入之和就是不等式 ，根据问题的要求，此式变为 时， 有解（注意不是恒成立），所以 的范围是 不小于 的最小值． 试题解析：（1）设每件定价为 元，依题意，有 ， 整理得 ，解得 ． ∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．   7′ （2）依题意， 时， 不等式 有解,等价于 时， 有解, （当且仅当 时，等号成立） . ∴当该商品明年的销售量 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．  14′