Question

设奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上为增函数．（1）若f（1）=0，解关于x

设奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上为增函数．（1）若f（1）=0，解关于x的不等式：f（1+log a x）＞0（0＜a＜1）．（2）若f（﹣2）=﹣1，当m＞0，n＞0时，恒有f（m n）=f（m）+f（n），求|f（t）+1|＜1时，t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（﹣∞，0）也单调递增 ∵f（1）=﹣f（﹣1）=0 ∴f（﹣1）=0 当x＞1或﹣1＜x＜0时，f（x）＞0； 当0＜x＜1或x＜﹣1时，f（x）＜0 ∵f（1+log a x）＞0 ∴1+log a x＞1或﹣1＜1+log a x＜0 ∵0＜a＜1 ∴0＜x＜1或a﹣1＜x＜2﹣2 （2）∵f（﹣2）=﹣1 ∴f（2）=﹣f（﹣2）=1 ∵m＞0，n＞0时，恒有f（m n）=f（m）+f（n）， ∴f（4）=2f（2）=2，f（﹣4）=﹣2，f（1）=2f（1）， 则f（1）=﹣f（﹣1）=0 ∵|f（t）+1|＜1 ∴﹣2＜f（t）＜0 ∴﹣4＜t＜﹣1