Question

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，（1）当-1≤x≤1时，讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，（1）当-1≤x≤1时，讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）当时a=0，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
此时f（x）为奇函数．
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
由f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a），
此时f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）当a≤0时，∵0≤x≤1时，f（x）=x（x-a）为增函数，∴x=1时，f（x）_max=f（1）=1-a．
当a＞0时，∵0≤x≤1，∴f（x）=|x（x-a）|=|x²-ax|，其图象如图所示：
①当

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）_max=f（1）=a-1．
②当

a

2

＜1≤

1+ 2

2

a，即2(

2

?1)≤a＜2时，f(x)max＝f(

a

2

)＝

a2

4

．
③当

1+ 2

2

a＜1，即0＜a＜2(

2

?1)时，f（x）_max=f（1）=1-a．
综上：当a＜2(

2

?1)时，f（x）_max=1-a；
当2(

2

?1)≤a＜2时，f(x)max＝

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