Question

在矩形ABCD中（AB＞CD），E为线段AD上的一个动点（E不与A、D两点重合），连接EC，过E点作EF⊥EC交AB于F，

在矩形ABCD中（AB＞CD），E为线段AD上的一个动点（E不与A、D两点重合），连接EC，过E点作EF⊥EC交AB于F，连接FC（1）求证：AF?DC=AE?ED；（2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；
∴

AE

DC

＝

AF

DE

，
∴AF?DC=AE?ED；
（2）E是AD的中点时，AE平分∠AFC，理由如下：
∵EF平分∠AFC，
∴∠AFE=∠EFC，
∴tan∠CFE=

CE

EF

，
同理可得，tan∠AFE=

AE

EF

，
∴

AE

AF

＝

CE

CF

，
又∵△AEF∽△DCE，
∴

DE

AF

＝

CE

EF

，
∴

AE

AF

＝

DE

AF

，
∴AE=DE，
∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．