Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，
以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴

DE

=（0，1，1），

PB

=（0，2，-2），

PC

=（2，2，-2），
∴

DE

?

PB

=0，

DE

?

PC

=0，
∴DE⊥PB，DE⊥PC，
∵PB∩PC=P，
∴DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量

m

=（0，2，0）．
设平面PCD的一个法向量为

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