Question

如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm2的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方

如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm2的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方．现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为ρ1=0.8×103kg/m3，水的密度为ρ0=1.0×103kg/m3（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度．（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度．（忽略木杆横截面积的影响）

Answer 1

（1）木杆的体积：
V=Sh=10cm²×20cm=200cm³=2×10^-4m³，
木杆的重力：
G=mg=ρ₁Vg=0.8×10³kg/m³×2×10^-4m³×10N/kg=1.6N，
当弹簧测力计读数F_示=1.2N时，木杆受到的浮力：
F_浮=G-F_示=1.6N-1.2N=0.4N，
∵F_浮=ρ₀V_排g=ρ₀SL_浸g，
∴木杆浸入的长度：
L_浸=

F浮

ρ0Sg

=

0.4N

1×103kg/m3×10×10?4m2×10N/kg

=0.04m=4cm；
（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如右图，
木杆受到水的浮力，作用点在D（浸入部分的中点），其力臂OA=（L-

1

2

h）sin30°，
木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂OB=

1

2

Lsin30°，
由于杠杠平衡条件可得：
F_浮′×OA=G×OB，
即：F_浮′×（L-

1

2

h）sin30°=G×

1

2

Lsin30°，
而F_浮′=ρ₀V_排′g=ρ₀Shg，
G=ρ₁Vg=ρ₁SLg，
sin30°=

1

2

，
代入得：
ρ₀Shg×（L-

1

2

h）×

1

2

=ρ₁SLg×

1

2

L×

1

2

，
再代入已知条件：L=20cm，ρ₁=0.8×10³kg/m³=0.8g/cm³，ρ₀=1.0×10³kg/m³=1g/cm³，
1g/cm³×Shg×（20cm-

1

2

h）×

1

2

=0.8g/cm³×S×20cm×g×

1

2

20cm×

1

2

，
1g/cm³×h×（20cm-

1

2

h）=0.8g/cm³×20cm×

1

2

×20cm，
h²-40h+320=0，
解得：
h=

40+ 402?4×1×320

2

≈29cm（大于20cm，舍去），h=