（2007?西城区二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证
（2007?西城区二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求二面角B-A...
（2007?西城区二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求二面角B-AB1-D的大小．
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解：法一（Ⅰ）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，
∴BD是B1D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B1D．
（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
∵AA1=AB∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C．（7分）
∵DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．（9分）
（Ⅲ）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．
∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角（12分）
设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=
| ||
| 4 |
在△ABE中，FG=
| 3 |
| 4 |
3
| ||
| 8 |
在Rt△DFG中，tanFGD＝
| DF |
| FG |
| ||
| 3 |
所以，二面角B-AB1-D的大小为arctan
| ||
| 3 |
解法二：
建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
则D(0，0，0)，A(0，
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
证明：∵
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