Question

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2）若将地球当作均匀球体，推导地球的平均密度．

Answer 1

（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，
在地球表面附近满足：

G Mm R2 ＝mg

①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力：m

v 2 1

R

＝G

Mm

R2

②
①、②式，得到：v1＝

Rg

（2）由密度公式：ρ＝

M

V

＝

M

4 3 πR3

③
由①、③得：ρ＝

3g

4πRG

答：（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式v1＝

Rg

；
（2）若将地球当作均匀球体，推导地球的平均密度为ρ＝

3g

4πRG

．