Question

如图，二次函数y=ax 2 +bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，-2），过B、C画直线．（1

如图，二次函数y=ax 2 +bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，-2），过B、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴负半轴上，且PB=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，过M向直线BC作垂线，垂足为H．若M在y轴左侧，且△CHM ∽ △BOC，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax 2 +bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0）， ∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1）， 将x=0，y=-2代入，得-2=a（0+2）（0-1）， 解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x+2）（x-1），即y=x 2 +x-2； （2）如图1．由（1）知，抛物线的解析式为y=x 2 -x-2，则C（0，-2）． 设OP=x，则PB=PC=x+1， 在Rt△POC中，由勾股定理，得x 2 +2 2 =（x+1） 2 ， 解得，x= 3 2 ，即OP= 3 2 ； （3）∵△CHM ∽ △BOC， ∴∠MCH=∠CBO． （i）如图2，当点H在点C上方时． 由（2）知，PB=PC， ∴∠PCB=∠CBP，即∠PCB=∠CBO． 又∵∠MCH=∠CBO，即∠MCB=∠CBO， ∴∠PCB=∠MCB， ∴点M是线段CP的延长线与抛物线的交点． 设直线CM的解析式为y=kx-2（k≠0）， 把P（- 3 2 ，0）代入，得- 3 2 k-2=0， 解得，k=- 4 3 ，则直线CM的解析式是y=- 4 3 x-2， ∴ y=- 4 3 x-2 y= x 2 +x-2 ， 解得， x=0 y=-2 （舍去），或 x=- 7 3 y= 10 9 ， ∴M（- 7 3 ， 10 9 ）； （ii）如图3，点H在点C下方时． ∵∠MCH=∠CBO， ∴CM ∥ x轴， ∴y M =-2， ∴x 2 +x-2=-2， 解得x 1 =0（舍去），x 2 =-1 ∴M（-1，-2）． 综上所述，点M的坐标是M（- 7 3 ， 10 9 ）或M（-1，-2）．