Question

已知函数f（x）=4x+k?2x+14x+2x+1，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边

已知函数f（x）=4x+k?2x+14x+2x+1，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

因对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
f（x）=

4x+2x+1+(k?1)2x

4x+2x+1

=1+

k?1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k?1

t

（t≥3），
当k-1＞0，即k＞1时，该函数在[3，+∞）上单调递减，则y∈（1，

k+2

3

]，
当k-1=0，即k=1时，y∈{1}，
当k-1＜0，即k＜1时，该函数在[3，+∞）上单调递增，y∈[

k+2

3

，1），
当k＞1时，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
当k=1时，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
综上所述：-

1

2

≤k≤4．
故答案为：-

1

2

≤k≤4