Question

已知数列{an}中a1=1，数列{bn}中b1=0当n≥2时，an＝2an?1+bn?13，bn＝an?1+2bn?13，求an与bn

已知数列{an}中a1=1，数列{bn}中b1=0当n≥2时，an＝2an?1+bn?13，bn＝an?1+2bn?13，求an与bn．

Answer 1

当n≥2时，an＝

2an?1+bn?1

3

①，bn＝

an?1+2bn?1

3

②，
①-②得a_n-b_n=

1

3

（a_n-1-b_n-1），所以数列{a_n-b_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

3

的等比数列，
所a_n-b_n=(

1

3

)n?1③
①+②得a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=1④
③④联立解得a_n=

1

2

[1+(

1

3

)n?1]，b_n=

1

2

[1?(

1

3

)n?1]