已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)(1)若在f(x)的图象上横坐标为23的点处存在垂直于y轴的切线,求a

已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)(1)若在f(x)的图象上横坐标为23的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同... 已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)(1)若在f(x)的图象上横坐标为23的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a取值范围;(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试出实数m的值;若不存在,说明理由. 展开
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奶瓶君497
推荐于2016-09-20 · 超过63用户采纳过TA的回答
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(1)依题意,f′(
2
3
)=0
∵f′(x)=-3x2+2ax
-3(
2
3
2+2?a?
2
3
=0,
∴a=1(3分)
(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,
则方程f′(x)=0在区间(-2,3)内有两个不同的实根,
∴△>0,f′(-2)<0,f′(3)<0,-2<
a
3
<3,
解得-3<a<
9
2
且a≠0
但a=0时,f(x)=-x3+1无极值点,
∴a的取值范围为(-3,0)∪(0,
9
2
)(8分)
(3)在(1)的条件下,a=1,
要使函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点,
等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1,
即方程x2(x2-4x+1-m)=0恰有三个不同的实根.
∵x=0是一个根,
∴应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根,
由△=16-4(1-m)>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1(12分)
∴存在m∈(-3,1)∪(1,+∞),
使用函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点(13分)
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