Question

已知函数f(x)＝1?xax+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1

已知函数f(x)＝1?xax+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证：f(nn?1)＞0．

Answer 1

（1）由已知：f′(x)＝

ax?1

ax2

，
依题意：

ax?1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）成立，
∴ax-1≥0，对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

，对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥(

1

x

)max，即a≥1．             
（2）当a=1时，f′(x)＝

x?1

x2

，x∈[

1

2

，2]，
若x∈[

1

2

，1），则f′（x）＜0，
若x∈（1，2]，则f′（x）＞0，
故x=1是函数f（x）在区间[

1

2

，2]上唯一的极小值点，也就是最小值点，
故f（x）_min=f（1）=0．                 
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，则f（

1

2

）-f（2）=1-ln2-（-

1

2

+ln2）=

3

2

-2ln2=

lne3?ln16

2

，
∵e³＞2.7³=19.683＞16，
∴f（

1

2

）-f（2）＞0，∴f（

1

2

）＞f（2），
∴f（x）在[

1

2

，2]上最大值是f（

1

2

）=1-ln2，
∴f（x）在[

1

2

，2]上最大1-ln2，最小0．       
（3）当a=1时，由（1）知，f(x)＝

1?x

x

+lnx在[1，+∞）是增函数．
当n＞1时，令x＝

n

n?1

，则x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，
即f(

n

n?1

)=

1? n n?1

n n?1

+ln

n

n?1

=-

1

n

+ln

n

n?1

＞0．