Question

（2014?南京联合体二模）如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）判断BC与⊙O

（2014?南京联合体二模）如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）判断BC与⊙O有何位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）BC是⊙O的切线．理由如下：
连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD+∠E=90°，
∵∠DBC=∠DAB，∠DAB=∠E，
∴∠EBD+∠DBC=90°，
即OB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，
∴BC是O的切线；

（2）∵∠BOD=2∠A=60°，OB=OD，
∴△BOD是边长为4的等边三角形，
∴S_△BOD=

3

4

×4²=4

3

，
∵S_扇形DOB=

60π×42

360

=

8

3

π，
∴S_阴影=S_扇形DOB-S_△BOD=

8

3

π-4

3

．