Question

求函数z=x2+y2+1在约束条件x+y-3=0下的极值

求函数z=x2+y2+1在约束条件x+y-3=0下的极值．

Answer 1

可用初中数学知识简单解决:

z＝x²-xy-y²

＝x²-x(1-x)-(1-x)²

＝x²+x-1

＝(x+1/2)²-5/4.

∴x＝-1/2，y＝3/2时，

目标函只存在极小值

z|min＝-5/4。

扩展资料

函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。这里的极大和极小只具有局部意义。

因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。

Answer 2

可以用初中数学知识简单解决:

z＝x²-xy-y²

＝x²-x(1-x)-(1-x)²

＝x²+x-1

＝(x+1/2)²-5/4.

∴x＝-1/2，y＝3/2时，

目标函只存在极小值

z|min＝-5/4。

扩展资料：

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在关键点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

Answer 3

利用拉格朗日乘数法求条件极值，
令L（x，y，λ）=x²+y²+1+λ（x+y-3）
得方程组   

L′x＝2x+λ＝0 L′y＝2y+λ＝0 L′λ＝x+y?3＝0

解之得：x＝y＝

3

2

，
由题意知：当x＝y＝

3

2

时，z可能取到极值

11

2

．
再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x²+（x-3）²+1，
F′（

3

2

）=0，且F″(

3

2

)＞0，
故函数z取得极小值为z（

3

2

，

3

2

）=

11

2

．

Answer 4

x=3-y 带入目标函数，求导找一元的极值