Question

已知函数f（x）=lnx-x?ax，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

已知函数f（x）=lnx-x?ax，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为13，求a的值．

Answer 1

f′(x)＝

1

x

?

x?(x?a)

x2

＝

x?a

x2

（x＞0），
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=-1，即1-a=-1解得a=2；
当a=2时，f(x)＝lnx?

x?2

x

，f′(x)＝

x?2

x2

．
令f′(x)＝

x?2

x2

＜0，解得0＜x＜2，
所以函数的递减区间为（0，2）；
（2）①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，3）上恒成立，
这时f（x）在[1，3]上为增函数
则f（x）_min=f（1）=a-1
令 a?1＝

1

3

，得a＝

4

3

＞1（舍去），
②当1＜a＜3时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，3）
由于对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，3）有f'（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，
则f（x）_min=f（a）=lna，
令lna＝

1

3

，得a＝e

1

3

，
③当a≥3时，f'（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，
故f′(x)min＝f(3)＝ln3+

a

3

?1．
令ln3+

a

3

?1＝

1

3

得 a=4-3ln3＜2（舍去）
综上，a＝e

1

3

．