Question

已知函数f（x）=lnx+ (a-x)/x ，其中a为常数，且a＞0

（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=0.5x+1垂直，求a的值；
(2)求过（0,0）的切线方程

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Answer 1

(1)因为 f'(1)=1/x -a/x^2 |_{x=1} =1-a 为切线的斜率，
由题目的要求，有(1-a)*0.5 = -1.
所以，a = 3.
(2) （注意曲线不过原点）以(b,f(b))(b>0)为切点的切线方程为
y-f(b)=f'(b)(x-b)=(1/b -3/b^2)(x-b)
其中 f(b)=lnb +3/b -1
过(0,0),有 lnb + 3/b -1 = 1 -3/b
即 lnb + 6/b - 2 = 0
有隐式解 lnb = 2 -6/b
所以，过(0,0)的切线为
y = (1-3/b) + (1/b -3/b^2)*(x-b) = (lnb/(2b))*x