Question

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D. （1）当点P在⊙O上，求OD的长.（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x， ，求y与x的函数关系式并写出自变量x 的取值范围。（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长。

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Answer 1

解：当P在⊙O上时，连接BP        ∵ C是AB中点，O是AP中点， ∴ 点D为△ABP的重心， ∴   ∵ OA=OB=5  ∴    （2）过点O作OE//AB，交PC于点E（如图）  ∵OE//AB ∴ ，       又∵ AC=BC  ∴   即   (x>0)  (3) 当P在AO延长线上时，若△PCO∽△PAC时，有∠PCO=∠A， ∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易证△ACO∽△BDC 得     得    ∴   当P在AO上时，若△PCO∽△PAC时，可得CP⊥AO（如图） 作BH⊥AO，可求得   ， 由 ， 得      ∴ 则   综上所述，若△PCO与△PCA相似，此时BD的长为 或

（1）连接BP，由两个中点得出点D是重心，可以得到 ； （2）过点O作OE//AB，由三角形中线段的相似比找出y与x的函数关系式； （3）考虑两种情况：点P在AO延长线上或者点P在AO上。