Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0），如图

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0），如图所示，B 点在抛物线 图象上，过点B 作BD ⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3。（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）∵ ∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠OAC    ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴BC=AC 在△BDC和△COA中， ∴△BDC≌△COA（AAS）； （2）∵C点坐标为（-1，0）， ∴BD=CO=1， ∵B点的横坐标为-3， ∴B点坐标为（-3，1）     设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b， 则有 解之，得 ∴BC所在直线的函数关系式为 ； （3）存在．二次函数解析式为 ， ∴对称轴为直线 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P 1 ，使CP 1 ⊥AC ∵BC⊥AC ∴点P 1 为直线BC与对称轴直线 的交点， 由题意，得 解之，得 ∴ 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P 2 ，使AP 2 ⊥AC，过点A作AP 2 ⊥BC，交对称轴直线 于点P 2 ， ∵CD=OA， ∴A（0，2）， 易求得直线AP 2 的解析式为 ， 由    得 ∴ ∴满足条件的点有两个，坐标分别为 。