Question

已知函数 ．（1）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；（2）设 ，证明：

已知函数 ．（1）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；（2）设 ，证明： ．





Answer 1

（1） ；（2）详见解析.

试题分析：（1）这是一个含参不等式恒成立，求参数取值范围的问题，通常方法是根据函数性质进行求解，或分离参数转化为求函数最值问题，若方便分离参数又较容易求分离后函数的最值，还是分离参数较好，这样可避免对参数的讨论；（2）这是一个以函数的凹凸那条性为背景的一个不等式的证明问题双变元问题，可以将其中一个看成主元，另一个看成参数，构造函数 ，通过求导判断函数的单调性和最值达到证明的目的. 试题解析：（1）（1）由 变形为 ． 令 ，则 故当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 的最大值只能在 或 处取得 又 ， ，所以 所以 ，从而 ． （2）∵ ，∴ 设 ，则 当 时， ， 在 上为减函数； 当 时， ， 在 上为增函数． 从而当 时， ， 因为 ，所以 ．