Question

椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M

椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于______．

Answer 1

如图所示，
由直线y＝

3

(x+c)可知倾斜角α与斜率

3

有关系

3

=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴∠MF2F1＝30°，∴∠F1MF2＝90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，则

m2+n2＝(2c)2 m+n＝2a m＝ 3 n

，解得

c

a

＝

3

?1．
∴该椭圆的离心率e=

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